Structure CAD для “ЧАЙНИКОВ”


Главные и эквивалентные напряжения


Напомним некоторые основные положения теории напряжений, излагаемые обычно в курсе теории упругости или в подробных учебниках сопротивления материалов.

                Если выделять из тела в окрестности некой точки  (рис. 12.1) элементарный объем в виде бесконечно малого парал­лелепипеда, то действие на него окружающей среды заменя­ется напряжениями, компоненты которых действуют на грани параллелепипеда.

Рис. 12.1

В силу закона парности касательных напряжений

;
;
. (12.1)

В общем случае в точке имеется только шесть независимых компонент напряжений, которые образуют симметричный тензор напряжений

  (12.2)

На проходящей через ту же точку произвольно ориентированной площадке, нормаль которой n имеет направляющие косинусы l, m, n с осями x, y, z, действует нормальное напряжение sn

и касательное напряжение tn (рис. 12.2) с равнодействующей Sn. Проекции этой равнодействую­щей на координатные оси Snx, Sny, Snz связаны с компонентами напряжений условиями равновесия (формула Коши):

             (12.3)                                         Рис. 12.2.

Существуют три таких взаимно перпендикулярных площадки, на которых касательные напряжения отсутствуют. На этих, так называемых, главных площадках действуют главные напряжения

s1, s2 и s3. При этом имеется в виду, что s1³s2³s3. Известно также, что главные напряжения обладают экстремальными свойствами, а именно – на любой площадке результирующее напряжение

 и
.

                Направляющие косинусы lk , mk и nk нормалей главных площадок nк определяются из решения системы уравнений:

(sх – sk) lk + txy

mk + txz nk

= 0;

txy lk + (sy – sk) mk + tyz

nk = 0;

txz lk + tyz mk + (sz – sk) nk = 0;

lk2

+ mk2 + nk2 = 1.                                                                              (12.4)

Из (4) следует, что главные напряжения sk (к=1,2,3) являются корнями кубического уравнения:

.                                      (12.5)

Уравнение (5) в развернутой форме имеет вид

,                             (12.6)




Начало  Назад  Вперед



Книжный магазин